Временски зависно $\alpha$

Болнички ресурси

Слично како $R_0$, стапката на смрност е доста нереалистичнол да се моделира како сценариата до сега, бидејќи не е реално смртноста да е иста кај население кое е повозрасно и кај помлади тинејџери. Оваа стапка (параметар) зависи од повеќе работи меѓутоа во ова поглавје ние се фокусираме на возраста на популацијата и на ресурсите.

Прво, да го разгледаме параметарот како зависен од ресурси. Сакаме стапката да биде поголема кога повеќе луѓе се заразени (инфицирани). Појдуваме од точка, како ова може да се формулира фо функција? Ни треба оптимална (некоја средна) стапка на смртност за случајот каде само неколкумина се заразени (и во исто време тие да се стекнат со оптимално лекување) и некој фактор што го зима во предвид која порција од популацијата е моментално заразена.

Ова е еден пример за таква функција која ги имплементира овие идеи:

\begin{align*} \alpha(t) &= f \cdot \frac{I(t)}{N} + \alpha_{base} \end{align*}

Во формулата, $f$ е некој произволен фактор за скалирање кој е откако ќе го поставиме на почетокот од моделот, останува константен низ целото моделирање; $alpha_{base}$ е оптималната стапка на смртност.

Пример сценарио
Доколку факторот $s=\frac{1}{2}=0.5$ и нека половина од популацијата е заразена на $t$ ден, тогаш $s\cdot \frac{I(t)}{N} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}=25\%$, што посочува дека $\alpha(t)$ на тој ден е всушност $25 \% + \alpha_{base}$. Или можеби повеќето луѓе едвај имаат некакви симптоми и поради тоа големиот број на заразени не ги преполовува болниците. Сепак ова моделирање е попримитивно бидејќи не го зима во предвид бројот на кревети, респиратори и сл. Незаивсно, доколку го разгледаме истото сценарио но со фактор од $s=0.1$, ратата ќе ни биде попристојна и $\alpha(t)$ би било само $5 \% + \alpha_{base}$.

Старост на население

Да се моделира возраста на населението можеби беше еден од поголемите предвизици. За да се имплементира целосно би требало да има помали возрасни групи и повеќе на број што многу ни ги направи равенките тријвијални. Поедноставен пристап ни беше да го поделиме наслението во 4 групи каде секоја група има соодведен % од вкупната популација и за секоја група да дефинираме стапка на смртност $\alpha$:

1 Група: 0-29
2 Група: 30-59
3 Група: 60-89
4 Група: 90+

Пример би можеле да го поделиме населението на следниот начин:

import plotly.graph_objects as go
import plotly.tools as tls
from plotly.offline import plot, iplot, init_notebook_mode
from IPython.core.display import display, HTML
from plotly.subplots import make_subplots

init_notebook_mode(connected = True)
config={'showLink': False, 'displayModeBar': False}


colors1 = ['lightslategray',] * 5
colors1[3] = '#0066CC'

colors2 = ['lightslategray',] * 5
colors2[2] = 'crimson'

alpha_by_agegroup = {"0-29": 0.01, "30-59": 0.05, "60-89": 0.2, "89+": 0.3}
proportion_of_agegroup = {"0-29": 10, "30-59": 30, "60-89": 40, "89+": 20}



fig = make_subplots(rows=1, 
                    cols=2,
                    horizontal_spacing = 0.15,
                    subplot_titles=("&#120572; по ворзасни групи","Распределба на население"))

fig.add_trace(
    go.Bar(
    x=["0-29", 
       "30-59", 
       "60-89",
       "89+"],
    y=[alpha_by_agegroup["0-29"],
       alpha_by_agegroup["30-59"],
       alpha_by_agegroup["60-89"],
       alpha_by_agegroup["89+"]],
    marker_color=colors1, 
    hovertemplate = '%{x} група, &#120572;: %{y} ',
    name = '',
    showlegend = False, 
    hoverlabel = dict(bgcolor='white', 
                      bordercolor='black')),
    row=1, col=1
)

fig.add_trace(
    go.Bar(
    x=["0-29", 
       "30-59", 
       "60-89",
       "89+"],
    y=[proportion_of_agegroup["0-29"],
       proportion_of_agegroup["30-59"],
       proportion_of_agegroup["60-89"],
       proportion_of_agegroup["89+"]],
    marker_color=colors2, 
    hovertemplate = '%{x} група, %{y} %',
    name = '',
    showlegend = False, 
    hoverlabel = dict(bgcolor='white', 
                      bordercolor='black')),
    row=1, col=2
)

fig.update_layout(title_text = "SIERD",
                  title_x = 0.5, 
                  xaxis_title = 'Возрасна група',
                  xaxis=dict(mirror=False,
                             showline=True,
                             linecolor='#000',
                             tickfont = dict(size=11)),
                  yaxis_title = '&#120572;',
                  yaxis=dict(mirror=False,
                             showline=True,
                             linecolor='#000',
                             tickfont = dict(size=11)),
                  xaxis2_title = 'Возрасна група',
                  xaxis2=dict(mirror=False,
                             showline=True,
                             linecolor='#000',
                             tickfont = dict(size=11)),
                  yaxis2_title = '%',
                  yaxis2=dict(mirror=False,
                             showline=True,
                             linecolor='#000',
                             tickfont = dict(size=11)),
                  plot_bgcolor='#fff', 
                  hovermode = 'closest',
                  width = 700, 
                  height = 350,
                  font = dict(size = 10),
                  margin=go.layout.Margin(l=50,
                                         r=50,
                                         b=60,
                                         t=55))

plot(fig, filename = 'fig8_3alpha_age.html', config = config)
display(HTML('fig8_3alpha_age.html'))

Оваа поделба резултира со доста повозрасно население со 60% од населението да е постаро од 60 години. Пример, доколку за ова население би ја пресметале просечната стапка на смртност би добиле:

\begin{align*} \alpha &= 0.01 \cdot 0.1 \cdot + 0.05 \cdot 0.3 + 0.2 \cdot 0.4 + \cdot 0.3\cdot 0.2 = 15.6 \% \end{align*}

Пример друг, доколку би имале помладо население:

import plotly.graph_objects as go
import plotly.tools as tls
from plotly.offline import plot, iplot, init_notebook_mode
from IPython.core.display import display, HTML
from plotly.subplots import make_subplots

init_notebook_mode(connected = True)
config={'showLink': False, 'displayModeBar': False}


colors1 = ['lightslategray',] * 5
colors1[3] = '#0066CC'

colors2 = ['lightslategray',] * 5
colors2[0] = 'crimson'

alpha_by_agegroup = {"0-29": 0.01, "30-59": 0.05, "60-89": 0.2, "89+": 0.3}
proportion_of_agegroup = {"0-29": 50, "30-59": 30, "60-89": 10, "89+": 10}



fig = make_subplots(rows=1, 
                    cols=2,
                    horizontal_spacing = 0.15,
                    subplot_titles=("&#120572; по ворзасни групи","Распределба на население"))

fig.add_trace(
    go.Bar(
    x=["0-29", 
       "30-59", 
       "60-89",
       "89+"],
    y=[alpha_by_agegroup["0-29"],
       alpha_by_agegroup["30-59"],
       alpha_by_agegroup["60-89"],
       alpha_by_agegroup["89+"]],
    marker_color=colors1, 
    hovertemplate = '%{x} група, &#120572;: %{y} ',
    name = '',
    showlegend = False, 
    hoverlabel = dict(bgcolor='white', 
                      bordercolor='black')),
    row=1, col=1
)

fig.add_trace(
    go.Bar(
    x=["0-29", 
       "30-59", 
       "60-89",
       "89+"],
    y=[proportion_of_agegroup["0-29"],
       proportion_of_agegroup["30-59"],
       proportion_of_agegroup["60-89"],
       proportion_of_agegroup["89+"]],
    marker_color=colors2, 
    hovertemplate = '%{x} група, %{y} %',
    name = '',
    showlegend = False, 
    hoverlabel = dict(bgcolor='white', 
                      bordercolor='black')),
    row=1, col=2
)

fig.update_layout(title_text = "SIERD",
                  title_x = 0.5, 
                  xaxis_title = 'Возрасна група',
                  xaxis=dict(mirror=False,
                             showline=True,
                             linecolor='#000',
                             tickfont = dict(size=11)),
                  yaxis_title = '&#120572;',
                  yaxis=dict(mirror=False,
                             showline=True,
                             linecolor='#000',
                             tickfont = dict(size=11)),
                  xaxis2_title = 'Возрасна група',
                  xaxis2=dict(mirror=False,
                             showline=True,
                             linecolor='#000',
                             tickfont = dict(size=11)),
                  yaxis2_title = '%',
                  yaxis2=dict(mirror=False,
                             showline=True,
                             linecolor='#000',
                             tickfont = dict(size=11)),
                  plot_bgcolor='#fff', 
                  hovermode = 'closest',
                  width = 700, 
                  height = 350,
                  font = dict(size = 10),
                  margin=go.layout.Margin(l=50,
                                         r=50,
                                         b=60,
                                         t=55))

plot(fig, filename = 'fig8_4alpha_age.html', config = config)
display(HTML('fig8_4alpha_age.html'))

Со ваква поделба би имале стапка на смрност $\alpha<10\%$!

За да ги искористиме овие поделби и доделување на вредности, можеме да го користиме истиот модел дефиниран погоре, за болнички ресурси со тоа што ќе го пресметување $\alpha_{base}$ имајќи ги овие вредности.